Fundamentos de Electromagnetismo y Análisis de Señales: Teoría, Métodos y Aplicaciones

 

Fundamentos de Electromagnetismo y Análisis de Señales: Teoría, Métodos y Aplicaciones

 

Los puntos críticos identificados son:

• Naturaleza del Campo Electromagnético (EM): Se define como una entidad con personalidad propia que transporta energía, masa y momento, independizándose de sus fuentes mediante la radiación. Su comportamiento se rige por la interacción entre cargas y corrientes, descrita mediante leyes de campo y de fuerza (Lorentz).
• Unicidad y Fuentes: Según el Teorema de Helmholtz, un campo queda unívocamente determinado por sus fuentes escalares (divergencia) y vectoriales (rotacional). El campo eléctrico posee ambas, mientras que el magnético es estrictamente solenoidal (carece de monopolos).
• Formulación de Maxwell: Estas ecuaciones unifican la descripción del campo en el vacío y medios materiales, integrando conceptos como la ley de inducción de Faraday y la corriente de desplazamiento.
• Dicotomía de Señales: Existe una distinción técnica entre "forma de onda" (representación gráfica de cambios) y "señal" (portadora de información compleja). Las señales analógicas son continuas y naturales, pero sensibles al ruido; las digitales son discretas, resistentes a interferencias y permiten protocolos avanzados de corrección.
• Conversión de Dominios: La transición entre el mundo analógico y digital se basa en procesos de muestreo regulados por el Teorema de Nyquist, utilizando convertidores A/D y D/A (como la escalera R-2R) para el procesamiento eficiente de datos.

1. Fundamentos Teóricos del Campo Electromagnético

1.1. Interacción y Definición de Campo

La disciplina estudia las interacciones entre cargas y corrientes como un proceso de dos etapas:

1. Creación: Un grupo de cargas fuente perturba el espacio circundante creando un campo.
2. Detección: Una carga testigo experimenta una fuerza neta al interactuar con dicho campo.

El campo EM no es un mero auxiliar matemático; posee propiedades físicas de la materia y puede existir de forma autónoma como radiación, transportando magnitudes físicas fijas.

1.2. El Teorema de Helmholtz y la Unicidad

Para que un campo vectorial $F(r)$ esté determinado por completo, es necesario conocer:

• Fuentes Escalares: $\nabla \cdot F(r)=D(r)$ (Divergencia).
• Fuentes Vectoriales: $\nabla \times F(r)=R(r)$ (Rotacional).

A partir de estas fuentes, se pueden derivar los potenciales escalar ($f$) y vector ($g$), que permiten reconstruir el campo mediante la operación: $F=-\nabla f+\nabla \times g$.

1.3. Ley de Fuerza de Lorentz

La fuerza sobre una carga $q$ con velocidad $v$ se descompone en:

• Fuerza Eléctrica: $qE$, independiente de la velocidad.
• Fuerza Magnética: $q(v\times B)$, siempre perpendicular a la trayectoria y, por tanto, incapaz de realizar trabajo por sí misma sobre la carga.

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2. Campos Estáticos y Fuentes

2.1. Campo Electrostático

Producido por cargas en reposo, se caracteriza por ser irrotacional ($\nabla \times E=0$) y, por ende, conservativo. Se rige por:

• Ley de Coulomb: Establece que el campo es proporcional a la carga e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.
• Potencial Escalar ($V$): El campo deriva de $E=-\nabla V$. El potencial se relaciona con la densidad de carga $\rho$ mediante las ecuaciones de Poisson (${\nabla }^{2}V=-\rho /{ϵ}_0$) y Laplace (${\nabla }^{2}V=0$ en regiones sin carga).

2.2. Campo Magnetostático

 

Producido por corrientes estacionarias ($\nabla \cdot j=0$), se caracteriza por ser solenoidal ($\nabla \cdot B=0$).

• Ley de Biot y Savart: Describe la creación del campo a partir de elementos de corriente.
• Potencial Vector ($A$): Dado que $B$ no tiene fuentes escalares, se define como $B=\nabla \times A$.
• Ley de Ampère: Relaciona la circulación del campo magnético con la corriente neta que atraviesa una superficie.

3. Dinámica y Consecuencias de las Ecuaciones de Maxwell

 

El acoplamiento entre los campos eléctrico y magnético surge en condiciones dinámicas:

• Ley de Faraday: Un campo magnético variable en el tiempo genera un campo eléctrico rotacional.
• Corriente de Desplazamiento: Maxwell postuló que un campo eléctrico variable también actúa como fuente de campo magnético, completando la simetría de las ecuaciones.
• Conservación de la Carga: Se expresa mediante la ecuación de continuidad ($\nabla \cdot j+\partial \rho /\partial t=0$), vinculando el flujo de corriente con la variación temporal de la densidad de carga. 
•  4. Análisis de Señales y Formas de Onda
• 4.1. Definiciones Fundamentales
• Forma de Onda: Representación gráfica de los cambios de un valor (voltaje, corriente) en función del tiempo. Es un fenómeno físico básico.
• Señal: Forma de onda que transporta información compleja codificada. Requiere de procesos de modulación o codificación.

4.2. Señales Analógicas

Son continuas en el tiempo y pueden asumir infinitos valores dentro de un rango.

• Modulación: Para transmitir información, requieren variar su amplitud (AM), frecuencia (FM) o fase (PM).
• Ventajas: Representación natural de fenómenos físicos y bajo coste en aplicaciones simples (ej. sensores de luz con fotorresistencias).
• Desventajas: Alta sensibilidad a interferencias y ruido; dificultad para reducir el ancho de banda sin perder calidad.

4.3. Señales Digitales

Son discretas y representan datos mediante valores lógicos ("0" y "1").

• Robustez: Al tener solo dos niveles que distinguir, son mucho más resistentes al ruido y permiten la reconstrucción de datos corruptos.
• Eficiencia: Permiten métodos de compresión avanzados y protocolos de comunicación (como 1-Wire o I2C).
• Limitación: La información está limitada por la resolución (número de bits), lo que introduce un "granulado" o discretización.

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5. Conversión de Dominio y Procesamiento

5.1. Conversión Analógico-Digital (A/D)

El proceso de muestreo convierte una señal continua en una serie de valores discretos.

• Teorema de Nyquist: La frecuencia de muestreo debe ser al menos el doble de la frecuencia máxima de la señal original para evitar la pérdida de información.
• Resolución: Determinada por el número de bits; a mayor resolución, más fiel es la representación de la envolvente analógica.

5.2. Conversión Digital-Analógica (D/A)

Permite reconstruir una señal analógica a partir de datos digitales.

• Escalera R-2R: Método sencillo basado en una red de resistencias para generar voltajes proporcionales.
• PWM (Modulación por Ancho de Pulso): Uso de un ciclo de trabajo variable filtrado por una red RC para sintetizar voltajes analógicos.

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6. Métodos Numéricos y Herramientas Computacionales

Dada la complejidad de las ecuaciones diferenciales en electromagnetismo, el texto destaca el uso de herramientas como Mathematica para la resolución de problemas:

• Diferencias Finitas (FD-TD): Resolución de las ecuaciones de Maxwell en el dominio del tiempo para simular propagación de ondas.
• Método de los Momentos: Aplicado al cálculo de capacidades en estructuras delgadas.
• Métodos Variacionales (Ritz) y Elementos Finitos: Utilizados para resolver la ecuación de Poisson y encontrar distribuciones de potencial en geometrías complejas.
• Simulación de Trayectorias: Modelado numérico del movimiento de cargas en campos (movimiento ciclotrónico, botellas magnéticas y lentes electrostáticas).

•  

Cálculo de fem en el rotor

 

El rotor es la parte móvil de una máquina eléctrica rotativa (como un alternador o generador) que se aloja en el interior del estátor. El cálculo de la fuerza electromotriz (fem) inducida en él se basa en la Ley de Faraday-Henry, que establece que la fem es igual a la variación del flujo magnético por unidad de tiempo.

A continuación, se detalla el proceso de cálculo paso a paso:

1. Definición del Flujo Magnético ($\Phi$)

Cuando una bobina en el rotor gira con una velocidad angular ($\omega$) constante dentro de un campo magnético uniforme ($B$), el ángulo ($\theta$) entre el vector superficie de la espira y el campo cambia continuamente según la relación $\theta = \omega \cdot t$.

El flujo magnético que atraviesa cada espira en un instante determinado es: $$\Phi = B \cdot S \cdot \cos(\omega \cdot t)$$ Donde:

• $B$: es la intensidad del campo magnético.
• $S$: es el área de la superficie de la espira.
• $\omega \cdot t$: es el ángulo de giro en el tiempo $t$.

2. Aplicación de la Ley de Faraday-Lenz

Para hallar la fem ($\epsilon$) inducida en un rotor que tiene $N$ espiras, se utiliza la derivada del flujo respecto al tiempo: $$\epsilon = -N \cdot \frac{d\Phi}{dt}$$

Al derivar la expresión del flujo ($\Phi = B \cdot S \cdot \cos(\omega \cdot t)$), el resultado es: $$\epsilon = N \cdot B \cdot S \cdot \omega \cdot \sin(\omega \cdot t)$$

3. Componentes del Resultado

• FEM Sinusoidal: El cálculo demuestra que se induce una corriente alterna, ya que el valor de la fem varía según una función seno, cambiando de sentido dos veces cada período.
• FEM Máxima ($\epsilon_0$): El valor máximo o "pico" se alcanza cuando el seno es igual a 1. La fórmula para la fem máxima es: $$\epsilon_{max} = N \cdot B \cdot S \cdot \omega$$
• Influencia del núcleo: Si la bobina del rotor está montada sobre un núcleo de hierro, la elevada permeabilidad de este material aumenta el flujo magnético y, por consiguiente, el valor de la fem inducida.

Ejemplo de cálculo práctico

Según los problemas resueltos en las fuentes, si un rotor de 100 espiras ($N$) con una superficie de 0,4 m² ($S$) gira a $50\pi$ rad/s ($\omega$) en un campo de 0,1 T ($B$), la fem máxima sería: $$\epsilon_{max} = 100 \cdot 0,1 \cdot 0,4 \cdot 50\pi \approx 628 \text{ V}$$

En resumen, la fem inducida depende directamente del número de espiras, la fuerza del campo magnético, el tamaño de las espiras y la velocidad de giro del rotor.

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Primeros pasos a seguir para la resolución.

 

Ejercicio 1: Realizar los cálculos de la instalación que se presenta.

 

Ejemplo 2B. Resolución de circuitos.

 Ejemplo 2B.

2.B.1. ¿Qué tipo de circuito es el de la figura?

2.B2. Calcula la intensidad total que recorre el circuito y cada una de las caídas de tensión en los distintos elementos.

Resolución del ejemplo.

- En el ejemplo se trata un circuito serie, para el que tenemos que la corriente que recorre el circuito es la misma que recorre todos sus elementos al no existir nudos o bifurcaciones en las que se pueda dividir la corriente.

- Para la segunda parte del ejemplo, e primer lugar vamos a calcular la resistencia total, realizando la suma de cada uno de los valores de las resistencias.

Rt=R1+R2+R3=270+4700+15=4985Ω

una vez obtenemos el valor de la resistencia total del circuito, a través de la Ley de Ohm, calculamos la corriente total del circuito.

It=Vt/Rt=15v/4985Ω=0,003A

con la corriente total y los valores de las resistencias, calculamos la caída de tensión encada una de ellas.

VR1=R1·It=270·0,003=0,81V.

VR2=R2·It=4700·0,003=14,1V.

VR3=R3·It=15·0,003=0,045V.

Como comprobación, la suma de las distintas caídas de tensión deben de sumar la tensión de la fuente:

VRt=0,81+14,1+0,045=14,955V.

Por lo tanto, se puede decir que los datos son correctos.

Ejemplo 2.

 

EJEMPLO 2.

Un circuito entrega una potencia de 50W sobre una cara de 4 Ω. Calcular la corriente circulante y la tensión aplicada.

P=50W.

R=4Ω.

Para esta ocasión, para la resolución utilizamos la siguiente formula:

I2=P/R

Por lo tanto,

I=√50/4=√12,5=3,53A

Calculamos la tension aplicada:

V=I·R=3,53·4=14,14V

Por lo tanto, los valores buscados son:

I=3,53 A.

V=14,14 V.

Ejemplo 1. Aplicación Ley de Ohm.

 EJEMPLO 1

En un circuito la carga resistiva es de 150 Ω, la tensión aplicada es de 25 V. calcular la corriente circulante y la potencia disipada.

Aplicando la Ley de Ohm:

V=R·I

En este caso, teniendo la tensión y el valor de la resistencia, nos faltaría calcular la intensidad de corriente y la potencia disipada.

Despejando de la formula, obtenemos una intensidad de corriente:

I=V/R=25/150=0.167 A será la corriente que circula por el circuito.

Potencia (P)= V·I

P=V·I=25·0.167=4.167 W será la potencia disipada por la resistencia.

Tema 1: Conceptos Básicos (continuación).

 Resistencia y resistividad.

La resistencia es la capacidad que tiene un elemento de oponerse al paso de la corriente. Se ha demostrado que la resistencia aumenta con la longitud pero es menor cuanto mayor es su sección. Todo ello queda determinado en la siguiente fórmula:

R=ρ·(L/S)

también cabe destacar, que la resistencia depende del material utilizado, quedando determinado en la fórmula por el coeficiente de resistividad del material (r), ademas este valor varia según la temperatura.

La resistencia de un conductor a una temperatura determinada se calcula mediante la siguiente formula:

Rt=R20·[1+α·(t−20)]

siendo α el coeficiente de temperatura del material utilizado.

Ley de Joule.

Dicha ley establece que la cantidad de calor desprendida en un conductor por el que circula una corriente, es proporcional al cuadrado de su intensidad y a su resistencia.

Q=R·I2·tenJulios.

Q=0,239·R·I2·tencalorias.

Tema 1: Conceptos básicos (continuación)

 

Ley de Coulomb.

Dicha ley establece la fuerza de atracción o repulsión de dos cargas eléctricas puntuales como la relación directamente proporcional al producto de sus magnitudes q1 y q2 e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

                                                F=K·(q1·q2)/r2

Siendo:

    - q1 y q2 las cargas en estudio medidas en C.

    - F Fuerza de atracción o repulsión medida en N.

    - r el radio que las separa medido en m.

    - K la constate con valor 9·109 (N·m2/C2) para el vacío o aire.

Para el caso de encontrarnos en otro medio, debemos de calcular el coeficiente K mediante la siguiente formula:

                                                K=1/(4·PI·∈r·∈0)

donde tenemos que ∈0=1/(4·Π·9·109)

εr= constante dieléctrica relativa del medio material cuyo valor es 1 en el vacío o el aire.

Campo eléctrico.

Llamamos campo eléctrico a la región del espacio en la que se manifiestan fuerzas de origen eléctrico.

También se puede definir la intensidad de campo (E) si sobre una carga positiva q se ejerce una fuerza F, y todo ello viene dado por la expresión:

                                                                        F=E·q

Debemos de tener en cuenta que el campo eléctrico es un vector, por lo que la fuerza también lo es.

La expresión del campo creado por una carga Q en un punto situado a una distancia r de ella viene dado por la expresión matemática siguiente:

                                                                    E=(9·109/∈r)·(Q/r2)

La unidad de intensidad de campo eléctrico es la que ejerce una fuerza de un Newton sobre un cuerpo cargado con un culombio.

Diferencia de potencial (DDP).

Llamamos diferencia de potencial entre dos puntos A y B de un campo eléctrico al trabajo necesario para llevar a la unidad de carga positiva desde A hasta B, y viene expresado matemáticamente de la siguiente forma:

                                                        UB−UA=(9·109/∈r)·q·(1/rB−1/rA)

La corriente eléctrica.

Decimos que existe corriente eléctrica cuando podemos verificar que tenemos un movimiento de las cargas a lo largo de una trayectoria.

Por lo tanto, se define la intensidad de corriente eléctrica como la cantidad de electrones que pasan por una determinada sección en un determinado tiempo y una determinada dirección.

Cuando nos encontramos con un flujo constante de corriente podemos determinar la intensidad como:

                                                                    I=Q/t

La unidad de intensidad de corriente es el amperio (A) que representa la circulación de las cargas por dicha sección (1C/s).

Cunado se hace circular una carga “q” entre dos puntos entre los que existe una diferencia de potencial, se dice que se ha realizado un trabajo, quedando determinado por la siguiente formula:

                                                                    W=q·U

    Siendo:

        W= trabajo realizado.

        q = Carga.

        U= diferencia de potencial.

Definimos la potencia ( P ), como el trabajo por unidad de tiempo, de lo que resulta:

                                                                P=U·I

Siendo su unidad el vatio (W).

El circuito eléctrico. La Ley de Ohm.

Podemos referirnos a un circuito como el conjunto de elemento eléctricos que se encuentran unidos mediante un conductor, formando un anillo cerrado y por el que circula una corriente eléctrica.

Las partes que componen un circuito eléctrico elemental son:

- Fuente de energía: es el elemento encargado de suministrar la energía que recorrerá el circuito cerrado.

- Receptores: son aquellos elementos que son atravesados por la corriente eléctrica.

- Elementos de corte: son aquellos elementos que pueden interrumpir el flujo de corriente.

- Conductores: son los elementos que realizan el conexionado entre los elementos anteriores.

Ley de Ohm.

En este caso, dicha Ley expresa la relación entre la tensión existente entre dos puntos, punto 1 y punto 2 de un circuito conductor y la intensidad que circula por el, en este caso, la constate que se calcula es la resistencia.

                                                                    R=U12/I

En este caso, la resistencia se mide en ohmios (Ω).